જો વિધેય $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ અંતરાલ $[1, 3]$ માં રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે છે અને $f'\left( \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ હોય,તો $a = $ ..............

નીચેનામાંથી કયું વિધેય આપેલ અંતરાલમાં રોલના પ્રમેયનું પાલન કરી શકે છે?

વિધેય $f(x) = x^{2}$ માટે અંતરાલ $[2, 4]$ માં મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) ચકાસો.

$f(x)=\sqrt{x^2-x}, x \in[1,4]$ માટે લેગ્રાન્જ મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ $c$ ની કિંમત શોધો.

દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $2a+3b+6c=0$ અને ધારો કે $g(x)=\frac{ax^3}{3}+\frac{bx^2}{2}+cx$.
વિધાન-$I$ : આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ને $(0,1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બીજ છે.
વિધાન-$II$ : $[0,1]$ પર $g(x)$ માટે રોલનું પ્રમેય લાગુ પડે છે.
તો

ધારો કે $f(x)$ એ $[0, 5]$ પર સતત છે અને $(0, 5)$ પર વિકલનીય છે. જો $f(0) = 0$ અને $(0, 5)$ માં તમામ $x$ માટે $|f^{\prime}(x)| \leq \frac{1}{5}$ હોય, તો $[0, 5]$ માં તમામ $x$ માટે નીચેનામાંથી શું સાચું છે?