જો રેખા $x+y+1=0$ એ વર્તુળ $x^2+y^2+x+3y=0$ ને બે બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં છેદે છે,તો $A, B$ માંથી પસાર થતા અને આપેલ વર્તુળ પર $A$ અને $B$ આગળ દોરેલા સ્પર્શકોના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર શોધો.

વર્તુળો $(x - a)^2 + (y - b)^2 = c^2$ અને $(x - b)^2 + (y - a)^2 = c^2$ ની સામાન્ય જીવાની લંબાઈ શોધો.

જો રેખા $5x + y + 1 = 0$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x - 6y - 8 = 0$ ને જે બિંદુઓ પર છેદે છે ત્યાં દોરેલા સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $(a, b)$ હોય,તો $5a + b =$

બે વર્તુળો $C_1: x^2+y^2=25$ અને $C_2: (x-\alpha)^2+y^2=16$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $\alpha \in (5, 9)$. ધારો કે $C_1$ અને $C_2$ ના એક છેદબિંદુમાંથી દોરેલી બે ત્રિજ્યાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{63}}{8}\right)$ છે. જો $C_1$ અને $C_2$ ની સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $\beta$ હોય,તો $(\alpha \beta)^2$ નું મૂલ્ય શોધો:

એકમ ત્રિજ્યાનું વર્તૂળ $C_1$ પ્રથમ ચરણમાં આવેલું છે અને બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શેં છે. બીજા એવા વર્તૂળની ત્રિજ્યા જે બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શેં છે અને $C_1$ ને એવી રીતે છેદે છે કે જેથી સામાન્ય જીવા મહત્તમ લંબાઈની થાય,તે છે:

જો બે વર્તુળો $x^2+y^2-2x-6y+10-r^2=0$ અને $x^2+y^2-8x+2y+8=0$ ની સામાન્ય જીવા શૂન્યતર લંબાઈની હોય,તો