જો રેખા $2x - 3y + 4 = 0$ એ ઉપવલય $x = 3 \cos \theta, y = 5 \sin \theta$ ને $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે અને $(\alpha, \beta)$ એ $\overline{AB}$ નું મધ્યબિંદુ હોય,તો $3\beta - 2\alpha =$

એક ઉપવલયનું નાભિ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે. નિયામિકા રેખા $x = 4$ છે અને ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{2}$ છે. તો અર્ધ-પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ શોધો:

બિંદુ $(h, 0)$ માંથી પસાર થતી એક શિરોલંબ રેખા ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ ને બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માં છેદે છે. ધારો કે $P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકો બિંદુ $R$ માં મળે છે. જો $\Delta(h)=$ ત્રિકોણ $PQR$ નું ક્ષેત્રફળ,$\Delta_1=\max _{1 / 2 \leq h \leq 1} \Delta(h)$ અને $\Delta_2=\min _{1 / 2 \leq h \leq 1} \Delta(h)$ હોય,તો $\frac{8}{\sqrt{5}} \Delta_1-8 \Delta_2=$

ગ્રહ $M$ તેના સૂર્ય $S$ ની આસપાસ લંબગોળ કક્ષામાં ફરે છે,જેમાં સૂર્ય એક નાભિ પર છે. જ્યારે $M$ એ $S$ ની સૌથી નજીક હોય છે,ત્યારે તે $2$ એકમ દૂર હોય છે. જ્યારે $M$ એ $S$ થી સૌથી દૂર હોય છે,ત્યારે તે $18$ એકમ દૂર હોય છે. જો $S$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર હોય અને બીજી નાભિ ઋણ $y$-અક્ષ પર હોય,તો ગ્રહ $M$ ની લંબગોળ કક્ષાનું સમીકરણ શોધો.

શંકુ $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ પરના કોઈપણ બિંદુના નાભિ અંતરોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતા ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{2}$ છે. જો તેની એક નિયામિકા $x = 4$ હોય,તો ઉપવલયનું સમીકરણ શું થાય?