यदि आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ को एक सममित आव्यूह $B$ और एक विषम-सममित आव्यूह $C$ के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो निम्नलिखित में से कौन सा संबंध सही है?

मान लीजिए $A$ और $B$ दो व्युत्क्रमणीय (non-singular) विषम-सममित (skew-symmetric) आव्यूह हैं, इस प्रकार कि $AB = BA$ है। तो $A^{2} B^{2} (A^{\top} B)^{-1} (A B^{-1})^{\top}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,जिसके लिए सभी अशून्य $3 \times 1$ आव्यूहों $X=\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]$ के लिए $X^{T}AX = O$ है। यदि $A \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\ 4 \\ -5\end{array}\right]$,$A \left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 4 \\ -8\end{array}\right]$,और $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2(A+I)))=2^\alpha 3^\beta 5^\gamma$,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{N}$,तो $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ का मान है

यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ है,तो $|A B B'|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right]$ और $B=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ है,तो $\operatorname{det}\left(A^6+B^6\right)=$

समुच्चय $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ के अवयवों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले $3 \times 2$ आव्यूहों $A$ की संख्या ज्ञात कीजिए, ताकि $A^{T}A$ के सभी विकर्ण अवयवों का योग $5$ हो।