मान लीजिए A एक 3 times 3 आव्यूह है,जिसके लिए | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि सभी $X$ के लिए $X^{T}AX = 0$,अतः $A$ एक विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) होना चाहिए। मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 0 & a

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$44$

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(D) दिया गया है कि सभी $X$ के लिए $X^{T}AX = 0$,अतः $A$ एक विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) होना चाहिए। मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 0 & a & b \ -a & 0 & c \ -b & -c & 0 \end{bmatrix}$.$A \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 4 \ -5 \end{bmatrix}$ से,हमें $a+b=1$,$-a+c=4$,और $-b-c=-5 \Rightarrow b+c=5$ प्राप्त होता है।इन्हें हल करने पर,$a=-1, b=2, c=3$ प्राप्त होता है। अतः $A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 2 \ 1 & 0 & 3 \ -2 & -3 & 0 \end{bmatrix}$.तब $A+I = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \ 1 & 1 & 3 \ -2 & -3 & 1 \end{bmatrix}$. $\det(A+I) = 1(1+9) + 1(1+6) + 2(-3+2) = 10+7-2 = 15$.$2(A+I)$ एक $3 	imes 3$ आव्यूह है,इसलिए $\det(2(A+I)) = 2^3 \det(A+I) = 8 	imes 15 = 120$.सूत्र $\det(\operatorname{adj}(M)) = (\det M)^{n-1}$ का उपयोग करते हुए,$\det(\operatorname{adj}(2(A+I))) = (120)^{3-1} = 120^2 = (2^3 \cdot 3 \cdot 5)^2 = 2^6 \cdot 3^2 \cdot 5^2$.इस प्रकार $\alpha=6, \beta=2, \gamma=2$. अतः,$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = 36+4+4 = 44$.

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