यदि hat{i}+hat{j}+hat{k}, 2hat{i}-hat{k} और म | vedclass

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Question

(B) बिंदुओं $(1, 1, 1)$, $(2, 0, -1)$ और मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा दिया जाता है: $\begin{vmatrix} x & y & z \

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$\frac{1}{11}(11\hat{i}+9\hat{j}+8\hat{k})$

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(B) बिंदुओं $(1, 1, 1)$, $(2, 0, -1)$ और मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा दिया जाता है: $\begin{vmatrix} x & y & z \ 1 & 1 & 1 \ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 0$ सारणिक का विस्तार करने पर: $x(-1 - 0) - y(-1 - 2) + z(0 - 2) = 0$ $-x + 3y - 2z = 0$ या $x - 3y + 2z = 0$ (समीकरण $i$)। बिंदुओं $(1, 3, -2)$ और $(1, -1, 3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण: $\frac{x-1}{1-1} = \frac{y-3}{-1-3} = \frac{z-(-2)}{3-(-2)} = r$ $\frac{x-1}{0} = \frac{y-3}{-4} = \frac{z+2}{5} = r$ अतः, रेखा पर कोई भी बिंदु $(1, -4r+3, 5r-2)$ है। इस बिंदु को समतल के समीकरण $x - 3y + 2z = 0$ में रखने पर: $1 - 3(-4r+3) + 2(5r-2) = 0$ $1 + 12r - 9 + 10r - 4 = 0$ $22r - 12 = 0 \Rightarrow r = \frac{12}{22} = \frac{6}{11}$। $r = \frac{6}{11}$ को बिंदु के निर्देशांक में रखने पर: $x = 1$, $y = -4(\frac{6}{11}) + 3 = \frac{-24+33}{11} = \frac{9}{11}$, $z = 5(\frac{6}{11}) - 2 = \frac{30-22}{11} = \frac{8}{11}$। बिंदु $A$ $(1, \frac{9}{11}, \frac{8}{11})$ है, जो सदिश रूप में $\frac{1}{11}(11\hat{i} + 9\hat{j} + 8\hat{k})$ है। अतः, विकल्प $B$ सही है।

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यदि बिंदु $(2,-3,4)$ से गुजरने वाले और दोनों समतलों $2x-3y+5z=2$ तथा $x+y+2z=3$ के लंबवत समतल का समीकरण $x+py+qz=r$ है, तो $r$ का मान ज्ञात कीजिए।

रेखा $\frac{x + 1}{-3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{1}$ और बिंदु $(0, 7, -7)$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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