धनात्मक दिक्-कोसाइन वाली एक रेखा बिंदु P(2,-1 | vedclass

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Question

(C) चूंकि रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए इसके दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ समान हैं। मान लीजिए $l = m = n = a$ है।$l^2 + m^2 + n^2 =

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$\sqrt{3}$

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(C) चूंकि रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए इसके दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ समान हैं। मान लीजिए $l = m = n = a$ है।$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होने के कारण,$3a^2 = 1$,इसलिए $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (धनात्मक दिक्-कोसाइन होने के कारण धनात्मक मान लेने पर)।अतः,रेखा के दिक्-अनुपात $(1, 1, 1)$ के समानुपाती हैं।बिंदु $P(2, -1, 2)$ से गुजरने वाली और $(1, 1, 1)$ दिक्-अनुपात वाली रेखा का समीकरण है:$\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{1} = k$अतः,रेखा पर कोई भी बिंदु $(k+2, k-1, k+2)$ द्वारा दिया जाता है।चूंकि यह बिंदु $Q$ समतल $2x+y+z=9$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:$2(k+2) + (k-1) + (k+2) = 9$$2k + 4 + k - 1 + k + 2 = 9$$4k + 5 = 9$$4k = 4 \Rightarrow k = 1$$k=1$ को $Q$ के निर्देशांकों में रखने पर,हमें $Q(1+2, 1-1, 1+2) = Q(3, 0, 3)$ प्राप्त होता है।रेखाखंड $PQ$ की लंबाई बिंदु $P(2, -1, 2)$ और $Q(3, 0, 3)$ के बीच की दूरी है:$PQ = \sqrt{(3-2)^2 + (0 - (-1))^2 + (3-2)^2}$$PQ = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$

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