જો અતિવલય frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના અનંતસ્પર્શકો $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ અને $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ છે. અતિવલય પરના

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(D) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના અનંતસ્પર્શકો $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$ અને $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0$ છે. અતિવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી આ અનંતસ્પર્શકો સુધીના લંબ અંતરનો ગુણાકાર $\frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$ થાય છે. આપેલ છે કે આ ગુણાકાર $\frac{36}{13}$ છે,તેથી $\frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2} = \frac{36}{13}$. ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2}$ થાય. $e = \frac{\sqrt{13}}{3}$ આપેલ છે,તેથી $e^2 = \frac{13}{9}$. આમ,$\frac{a^2 + b^2}{a^2} = \frac{13}{9}$,જેનો અર્થ છે કે $9(a^2 + b^2) = 13a^2$,એટલે કે $9b^2 = 4a^2$. આથી,$b^2 = \frac{4}{9}a^2$,એટલે કે $b = \frac{2}{3}a$. $b^2 = \frac{4}{9}a^2$ ને ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{a^2 (\frac{4}{9}a^2)}{a^2 + \frac{4}{9}a^2} = \frac{36}{13}$. $\frac{\frac{4}{9}a^4}{\frac{13}{9}a^2} = \frac{36}{13} \implies \frac{4}{13}a^2 = \frac{36}{13} \implies a^2 = 9 \implies a = 3$. તેથી $b = \frac{2}{3}(3) = 2$. આમ,$a - b = 3 - 2 = 1$.

Similar Questions

જો અતિવલયના શિરોબિંદુઓ અને નાભિઓ અનુક્રમે $(\pm 3,0)$ અને $(\pm 4,0)$ હોય,તો તે અતિવલયના પ્રચલ સમીકરણો કયા છે?

વક્ર $4x^2 - 9y^2 = 36$ ને દોરી શકાય તેવા શક્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા,જે સીધી રેખા $5x + 2y - 10 = 0$ ને લંબ હોય,તે કેટલી છે?

જો $5x + 9 = 0$ એ અતિવલય $16x^2 - 9y^2 = 144$ ની નિયામિકા (directrix) હોય,તો તેનું અનુરૂપ નાભિ (focus) શોધો.

જો અતિવલય (hyperbola) ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) $\sqrt{3}$ હોય,તો તેના અનુબદ્ધ અતિવલય (conjugate hyperbola) ની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય?

$m$ ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે,સીધી રેખા $y = mx + \sqrt{9m^2 - 4}$ એ કયા વક્રનો સ્પર્શક છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module