यदि x को 4 से विभाजित करने पर शेषफल 3 प्राप्त | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि जब $x$ को $4$ से विभाजित किया जाता है तो शेषफल $3$ प्राप्त होता है,अतः हम $x = 4k + 3$ लिख सकते हैं।हमें $(2020 + x)^{2022}$ को $8$

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$1$

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(A) दिया गया है कि जब $x$ को $4$ से विभाजित किया जाता है तो शेषफल $3$ प्राप्त होता है,अतः हम $x = 4k + 3$ लिख सकते हैं।हमें $(2020 + x)^{2022}$ को $8$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।$x = 4k + 3$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:$(2020 + x)^{2022} = (2020 + 4k + 3)^{2022} = (2023 + 4k)^{2022}$.चूंकि $2023 = 8 	imes 252 + 7$,इसलिए $2023 \equiv 7 \equiv -1 \pmod{8}$ है।अतः,$(2023 + 4k)^{2022} \equiv (-1 + 4k)^{2022} \pmod{8}$।यदि $k$ सम है,तो $k = 2m$ लेने पर,$(-1 + 8m)^{2022} \equiv (-1)^{2022} \equiv 1 \pmod{8}$।यदि $k$ विषम है,तो $k = 2m + 1$ लेने पर,$(-1 + 4(2m + 1))^{2022} = (3 + 8m)^{2022} \equiv 3^{2022} \pmod{8}$।चूंकि $3^2 = 9 \equiv 1 \pmod{8}$,इसलिए $3^{2022} = (3^2)^{1011} \equiv 1^{1011} \equiv 1 \pmod{8}$।दोनों स्थितियों में,शेषफल $1$ प्राप्त होता है।

यदि $x$ को $4$ से विभाजित करने पर शेषफल $3$ प्राप्त होता है,तो $(2020+x)^{2022}$ को $8$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ....... है।

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