किसी भी पूर्णांक n geq 1 के लिए,जब व्यंजक n^5 | vedclass

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Question

(B) माना $f(n) = n^5 - 5n^3 + 4n + 139$. हम व्यंजक $n^5 - 5n^3 + 4n$ का गुणनखंड कर सकते हैं: $n(n^4 - 5n^2 + 4) = n(n^2 - 1)(n^2 - 4) = n(n-1)(n+1)(n-

Vedclass · Accepted Answer

$19$

Vedclass · Answer

(B) माना $f(n) = n^5 - 5n^3 + 4n + 139$. हम व्यंजक $n^5 - 5n^3 + 4n$ का गुणनखंड कर सकते हैं: $n(n^4 - 5n^2 + 4) = n(n^2 - 1)(n^2 - 4) = n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$. पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $f(n) = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 139$ प्राप्त होता है। गुणनफल $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ $5$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,जो हमेशा $5! = 120$ से विभाज्य होता है। अतः,किसी पूर्णांक $k$ के लिए $f(n) = 120k + 139$ है। जब $f(n)$ को $120$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $139 \pmod{120}$ की गणना करते हैं। $139 = 120 	imes 1 + 19$. इस प्रकार,शेषफल $19$ है।

किसी भी पूर्णांक $n \geq 1$ के लिए,जब व्यंजक $n^5-5n^3+4n+139$ को $120$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल क्या है?

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