n = 1, 2, 3, ldots के लिए संख्याएँ a_n = 6^n | vedclass

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Question

(D) दिया गया है,$n = 1, 2, 3, \ldots$ के लिए $a_n = 6^n - 5n$ हम $6^n$ को $(1 + 5)^n$ के रूप में लिख सकते हैं। द्विपद प्रमेय का उपयोग करने पर: $6^n =

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$1$

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(D) दिया गया है,$n = 1, 2, 3, \ldots$ के लिए $a_n = 6^n - 5n$ हम $6^n$ को $(1 + 5)^n$ के रूप में लिख सकते हैं। द्विपद प्रमेय का उपयोग करने पर: $6^n = (1 + 5)^n = {^nC_0} + {^nC_1}(5) + {^nC_2}(5^2) + {^nC_3}(5^3) + \ldots + {^nC_n}(5^n)$ $6^n = 1 + 5n + 25({^nC_2} + {^nC_3}(5) + \ldots + {^nC_n}(5^{n-2}))$ अब,दोनों पक्षों से $5n$ घटाने पर: $a_n = 6^n - 5n = 1 + 25({^nC_2} + 5{^nC_3} + \ldots + 5^{n-2}{^nC_n})$ मान लीजिए $k = {^nC_2} + 5{^nC_3} + \ldots + 5^{n-2}{^nC_n}$,जहाँ $n \geq 2$ के लिए $k$ एक पूर्णांक है। अतः,$a_n = 1 + 25k$ $n = 1$ के लिए,$a_1 = 6^1 - 5(1) = 1$ दोनों ही स्थितियों में,$a_n$ को $25$ से विभाजित करने पर शेषफल $1$ प्राप्त होता है।

$n = 1, 2, 3, \ldots$ के लिए संख्याएँ $a_n = 6^n - 5n$ को $25$ से विभाजित करने पर शेषफल क्या प्राप्त होता है?

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