यदि समीकरण x^3-6x^2+px+10=0 के मूल alpha, bet | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3-6x^2+px+10=0$ के मूल हैं और समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं। माना मूल $\beta-d, \beta, \beta+d$ है

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$132$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3-6x^2+px+10=0$ के मूल हैं और समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं। माना मूल $\beta-d, \beta, \beta+d$ हैं। मूलों का योग लेने पर,$(\beta-d) + \beta + (\beta+d) = 6$,जिससे $3\beta = 6$ प्राप्त होता है,अतः $\beta = 2$। चूंकि $\beta = 2$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा: $2^3 - 6(2^2) + p(2) + 10 = 0$। $8 - 24 + 2p + 10 = 0$ $\Rightarrow 2p - 6 = 0$ $\Rightarrow p = 3$। मूलों का गुणनफल $\alpha\beta\gamma = -10$ है। चूंकि $\beta = 2$,हमारे पास $\alpha\gamma = -5$ है। साथ ही,$\alpha+\gamma = 6 - 2 = 4$। हम सर्वसमिका $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)((\alpha+\beta+\gamma)^2 - 3(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha))$ का उपयोग करते हैं। यहाँ,$\alpha+\beta+\gamma = 6$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = p = 3$,और $\alpha\beta\gamma = -10$ है। $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3(-10) = 6(6^2 - 3(3))$। $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 + 30 = 6(36 - 9) = 6(27) = 162$। $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 162 - 30 = 132$।

यदि समीकरण $x^3-6x^2+px+10=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ समांतर श्रेणी में हैं,तो $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=$

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