यदि रेखाओं frac{x-1}{2}=frac{y-2}{3}=frac{z-3 | vedclass

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Question

(D) माना दो रेखाएं $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ और $L_2: \frac{x}{1}=\frac{y}{\alpha}=\frac{z-5}{1}$ हैं।रेखाओं पर बिंदु $A(1, 2,

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$-3$

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(D) माना दो रेखाएं $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ और $L_2: \frac{x}{1}=\frac{y}{\alpha}=\frac{z-5}{1}$ हैं।रेखाओं पर बिंदु $A(1, 2, 3)$ और $B(0, 0, 5)$ हैं।दिशा सदिश $\vec{b_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\vec{b_2} = \hat{i} + \alpha\hat{j} + \hat{k}$ हैं।क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{n} = \vec{b_1} 	imes \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & 3 & 4 \ 1 & \alpha & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-4\alpha) - \hat{j}(2-4) + \hat{k}(2\alpha-3) = (3-4\alpha)\hat{i} + 2\hat{j} + (2\alpha-3)\hat{k}$.सदिश $\vec{AB} = (0-1)\hat{i} + (0-2)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$.न्यूनतम दूरी $d = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|(-1)(3-4\alpha) + (-2)(2) + (2)(2\alpha-3)|}{\sqrt{(3-4\alpha)^2 + 2^2 + (2\alpha-3)^2}} = \frac{5}{\sqrt{6}}$.$|4\alpha - 3 - 4 + 4\alpha - 6| = |8\alpha - 13|$.$\frac{|8\alpha - 13|}{\sqrt{16\alpha^2 - 24\alpha + 9 + 4 + 4\alpha^2 - 12\alpha + 9}} = \frac{5}{\sqrt{6}}$.$\frac{|8\alpha - 13|}{\sqrt{20\alpha^2 - 36\alpha + 22}} = \frac{5}{\sqrt{6}}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $6(64\alpha^2 - 208\alpha + 169) = 25(20\alpha^2 - 36\alpha + 22)$.$384\alpha^2 - 1248\alpha + 1014 = 500\alpha^2 - 900\alpha + 550$.$116\alpha^2 + 348\alpha - 464 = 0$.$116$ से विभाजित करने पर: $\alpha^2 + 3\alpha - 4 = 0$.मूलों का योग $\alpha_1 + \alpha_2 = -3$.

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$(1, 2, 3)$ से गुजरने वाली और $x-1 = \frac{y+2}{2} = \frac{z+4}{4}$ तथा $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{2} = z+3$ रेखाओं के लंबवत रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

$(4, -2, 3)$ बिंदु से होकर जाने वाली और $XZ$-समतल के लंबवत रेखा का समीकरण है:

रेखाओं $\frac{x-5}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-4}{-3}$ और $\frac{x+3}{1}=\frac{y+5}{4}=\frac{z-1}{-5}$ के बीच की न्यूनतम दूरी है ($\sqrt{3}$ में)

रेखाओं $\vec{r}=6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})$ और $\vec{r}=-4 \hat{i}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए। ($\text{इकाई}$ में)

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