यदि frac{dy}{dx} = (3x + y + 4)^2 का हल frac{ | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (3x + y + 4)^2$ है। माना $3x + y + 4 = t$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $3 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{d

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$3\sqrt{3}$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (3x + y + 4)^2$ है। माना $3x + y + 4 = t$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $3 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$, जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 3$। इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dt}{dx} - 3 = t^2$। $\frac{dt}{dx} = t^2 + 3$। चरों को अलग करने पर: $\frac{dt}{t^2 + 3} = dx$। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dt}{t^2 + (\sqrt{3})^2} = \int dx$। सूत्र $\int \frac{dt}{t^2 + a^2} = \frac{1}{a} 	an^{-1}(\frac{t}{a}) + C$ का उपयोग करने पर, हमें $\frac{1}{\sqrt{3}} 	an^{-1}(\frac{t}{\sqrt{3}}) = x + k$ प्राप्त होता है। $t = 3x + y + 4$ का मान वापस रखने पर: $\frac{1}{\sqrt{3}} 	an^{-1}(\frac{3x + y + 4}{\sqrt{3}}) - x = k$। इसकी तुलना दिए गए रूप $\frac{1}{\sqrt{3}} 	an^{-1}(f(x, y)) - x = k$ से करने पर, हमें $f(x, y) = \frac{3x + y + 4}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है। अब, $f(1, 2) = \frac{3(1) + 2 + 4}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$।

यदि $\frac{dy}{dx} = (3x + y + 4)^2$ का हल $\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(f(x, y)) - x = k$ है, तो $f(1, 2) = $

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