यदि श्रेणी {left( {1frac{3}{5}} right)^2} + { | vedclass

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Question

(D) दी गई श्रेणी ${\left( \frac{8}{5} \right)^2} + {\left( \frac{12}{5} \right)^2} + {\left( \frac{16}{5} \right)^2} + {\left( \frac{20}{5} \right)^2}

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$101$

Vedclass · Answer

(D) दी गई श्रेणी ${\left( \frac{8}{5} ight)^2} + {\left( \frac{12}{5} ight)^2} + {\left( \frac{16}{5} ight)^2} + {\left( \frac{20}{5} ight)^2} + \dots$ है,जिसमें $10$ पद हैं।इसे $\frac{1}{25} [8^2 + 12^2 + 16^2 + 20^2 + \dots + (4(n+1))^2]$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $n=1$ से $10$ तक है।$n$-वाँ पद $T_n = {\left( \frac{4(n+1)}{5} ight)^2} = \frac{16}{25} (n^2 + 2n + 1)$ है।$10$ पदों का योग $S_{10} = \frac{16}{25} \sum_{n=1}^{10} (n^2 + 2n + 1)$ होगा।सूत्रों $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,$\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$,और $\sum 1 = n$ का उपयोग करने पर:$S_{10} = \frac{16}{25} [\frac{10(11)(21)}{6} + 2 \cdot \frac{10(11)}{2} + 10] = \frac{16}{25} [385 + 110 + 10] = \frac{16}{25} [505]$।दिया गया है कि $S_{10} = \frac{16}{5} m$,इसलिए $\frac{16}{25} 	imes 505 = \frac{16}{5} m$।दोनों पक्षों को $\frac{16}{5}$ से विभाजित करने पर,$m = \frac{505}{5} = 101$ प्राप्त होता है।

यदि श्रेणी ${\left( {1\frac{3}{5}} \right)^2} + {\left( {2\frac{2}{5}} \right)^2} + {\left( {3\frac{1}{5}} \right)^2} + {4^2} + \dots$ के प्रथम दस पदों का योग $\frac{16}{5}m$ है,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए:

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श्रेणी $1 + \frac{4}{5} + \frac{7}{5^2} + \frac{10}{5^3} + \dots$ का $n^{th}$ पद क्या होगा?

यदि $a, b, c \in \mathbb{R}^+$ इस प्रकार हैं कि $2a, b, 4c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं और $c, a, b$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं,तो:

प्राकृत संख्याओं को इस प्रकार लिखा गया है। $n^{th}$ पंक्ति में संख्याओं का योग क्या है?
$1$
$2$ $3$
$4$ $5$ $6$
$7$ $8$ $9$ $10$
$. . .$

$1 + 3 + 5 + 7 + \dots$ के $n$ पदों तक का योग क्या है?

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