यदि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और एक भुजा की लंबाई का योग दिया गया है,तो दर्शाइए कि त्रिभुज का क्षेत्रफल तब अधिकतम होता है जब उनके बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ हो।

(N/A) माना $ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कर्ण $AC = h$,आधार $AB = x$ और लंब $BC = y$ है। माना $\angle CAB = \theta$ है।
दिया गया है कि कर्ण और एक भुजा का योग अचर है,माना $h + x = k$,जहाँ $k$ एक अचर है।
त्रिभुज से,$\cos \theta = \frac{x}{h}$,इसलिए $x = h \cos \theta$ है।
इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर,$h + h \cos \theta = k$,जिससे $h(1 + \cos \theta) = k$ प्राप्त होता है,या $h = \frac{k}{1 + \cos \theta}$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} x y$ है।
चूंकि $x = h \cos \theta$ और $y = h \sin \theta$ है,इसलिए $A = \frac{1}{2} (h \cos \theta) (h \sin \theta) = \frac{1}{2} h^2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} h^2 \sin 2\theta$ है।
$h = \frac{k}{1 + \cos \theta}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A = \frac{k^2}{4} \cdot \frac{\sin 2\theta}{(1 + \cos \theta)^2}$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$A$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{d\theta} = \frac{k^2}{4} \left[ \frac{(1 + \cos \theta)^2 (2 \cos 2\theta) - \sin 2\theta \cdot 2(1 + \cos \theta)(-\sin \theta)}{(1 + \cos \theta)^4} \right]$ है।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $\frac{dA}{d\theta} = \frac{k^2}{2(1 + \cos \theta)^3} (2 \cos^2 \theta + \cos \theta - 1)$ प्राप्त होता है।
$\frac{dA}{d\theta} = 0$ रखने पर $2 \cos^2 \theta + \cos \theta - 1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड करने पर $(2 \cos \theta - 1)(\cos \theta + 1) = 0$ होता है।
त्रिभुज के लिए $\cos \theta = -1$ संभव नहीं है,इसलिए $\cos \theta = \frac{1}{2}$ है,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करके,यह दिखाया जा सकता है कि $\theta = \frac{\pi}{3}$ पर $\frac{d^2A}{d\theta^2} < 0$ है,जो पुष्टि करता है कि क्षेत्रफल अधिकतम है।