જો સમીકરણોની સંહતિ $kx + (k+1)y + (k-1)z = 0$,$(k-1)x + (k+2)y + kz = 0$ અને $(k+1)x + ky + (k+2)z = 0$ ને શૂન્યેતર ઉકેલ હોય,તો $k$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો સમીકરણોની સિસ્ટમ
$ 11 x+y+\lambda z=-5 $
$ 2 x+3 y+5 z=3 $
$ 8 x-19 y-39 z=\mu $
અનંત ઉકેલો ધરાવે છે,તો $ \lambda^4-\mu $ ની કિંમત શોધો:

સમીકરણોની સિસ્ટમ $x + ky - z = 0$,$3x - ky - z = 0$,અને $x - 3y + z = 0$ માટે $k =$ હોય ત્યારે શૂન્યતર ઉકેલ મળે છે.

ધારો કે $S$ એ તમામ સ્તંભ શ્રેણિકો $\left[\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right]$ નો ગણ છે,જ્યાં $b_1, b_2, b_3 \in \mathbb{R}$ અને સમીકરણોની સંહતિ (વાસ્તવિક ચલોમાં)
$-x+2y+5z=b_1$
$2x-4y+3z=b_2$
$x-2y+2z=b_3$
ને ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે. તો,નીચેનામાંથી કઈ સંહતિ(ઓ) (વાસ્તવિક ચલોમાં) દરેક $\left[\begin{array}{l}b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{array}\right] \in S$ માટે ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ ધરાવે છે?
$(A)$ $x+2y+3z=b_1, 4y+5z=b_2$ અને $x+2y+6z=b_3$
$(B)$ $x+y+3z=b_1, 5x+2y+6z=b_2$ અને $-2x-y-3z=b_3$
$(C)$ $-x+2y-5z=b_1, 2x-4y+10z=b_2$ અને $x-2y+5z=b_3$
$(D)$ $x+2y+5z=b_1, 2x+3z=b_2$ અને $x+4y-5z=b_3$

વિધાન $1$: જો સમીકરણોની સંહતિ $x + ky + 3z = 0, 3x + ky - 2z = 0, 2x + 3y - 4z = 0$ ને શૂન્યેતર ઉકેલ હોય,તો $k$ નું મૂલ્ય $\frac{31}{2}$ છે.
વિધાન $2$: ત્રણ ચલ ધરાવતી ત્રણ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલ હોય જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય.

ધારો કે $A$ અને $B$ બે $3 \times 3$ શૂન્યતર વાસ્તવિક શ્રેણિકો છે જેથી $AB$ એ શૂન્ય શ્રેણિક છે. તો: