જો સમીકરણોની સંહતિ $x + y + z = 5$, $x + 2y + 3z = 9$, $x + 3y + \lambda z = \mu$ ને અનંત ઉકેલો હોય, તો $\lambda + \mu$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $x = \alpha, y = \beta, z = \gamma$ એ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $2x + 3y - 2z + 4 = 0$, $3x - 4y + 3z + 5 = 0$, અને $kx - 2y + z + 3 = 0$ નો અનન્ય ઉકેલ છે. જો $\alpha = -2$ હોય, તો $k =$

જો સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ
$2x + y - z = 3$
$x - y - z = \alpha$
$3x + 3y + \beta z = 3$
ને અનંત ઉકેલો હોય,તો $\alpha + \beta - \alpha \beta$ ની કિંમત .... થાય.

જો સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 6$,$x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 9$,અને $2x_1 + 5x_2 + ax_3 = b$ સુસંગત હોય અને તેને અનંત ઉકેલો હોય,તો:

ધારો કે $A=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 2 & -1 & 4 \\ -3 & 7 & -6 \end{bmatrix}$ અને $B=[b_{ij}]_{3 \times 3}$ જ્યાં $b_{11}=2, b_{13}=-2, b_{12}=0$ છે, જેથી $AB=\begin{bmatrix} 2 & 14 & -4 \\ 4 & 1 & -8 \\ -6 & 15 & 12 \end{bmatrix}$ થાય. તો $|B|+\operatorname{trace}(B)=$

ધારો કે $a$ એ $(1-2x+2x^2)^{2023}(3-4x^2+2x^3)^{2024}$ ના વિસ્તરણમાં તમામ સહગુણકોનો સરવાળો છે અને $b = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\int_0^x \frac{\ln(1+t)}{t^{2024}+1} dt}{x^2} \right)$. જો સમીકરણો $cx^2+dx+e=0$ અને $2bx^2+ax+4=0$ નું એક સામાન્ય બીજ હોય,જ્યાં $c, d, e \in \mathbb{R}$,તો $d:c:e$ બરાબર શું થાય?