यदि $(\sqrt{a}x^2 + \frac{1}{2x^3})^{10}$ के विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद $105$ है,तो $a^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

$(x + 3)^{n - 1} + (x + 3)^{n - 2}(x + 2) + (x + 3)^{n - 3}(x + 2)^2 + ... + (x + 2)^{n - 1}$ के विस्तार में $x^r$ के गुणांक ज्ञात कीजिए,जहाँ $0 \le r \le (n - 1)$ है।

मान लीजिए कि $K$,$(1+x)^{99}$ के विस्तार में $x$ की विषम घातों के गुणांकों का योग है। मान लीजिए $a$,$(2+\frac{1}{\sqrt{2}})^{200}$ के विस्तार में मध्य पद है। यदि $\frac{{}^{200}C_{99} K}{a} = \frac{2^{\ell} m}{n}$ है,जहाँ $m$ और $n$ विषम संख्याएँ हैं,तो क्रमित युग्म $(\ell, n)$ बराबर है:

यदि $(1+x)^n$ के विस्तार में तीन क्रमागत पदों के गुणांक $1:5:20$ के अनुपात में हैं,तो चौथे पद का गुणांक $............$ है।

$(x + a)^{100} + (x - a)^{100}$ के विस्तार में सरलीकरण के बाद पदों की कुल संख्या क्या होगी?

यदि $\left(\frac{3}{2} x^2 - \frac{1}{3x}\right)^6$ के विस्तार में $k^{\text{th}}$ पद $x$ से स्वतंत्र है,तो $x = \frac{2}{3}$ होने पर $\left(\frac{3}{2} x^2 - \frac{1}{3x}\right)^k$ के विस्तार में संख्यात्मक रूप से सबसे बड़ा पद क्या है?