यदि समुच्चय $A = \{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\}$ के $m$-अवयव वाले उपसमुच्चयों की कुल संख्या, $a_{4}$ को समाहित करने वाले $m$-अवयव वाले उपसमुच्चयों की संख्या की $k$ गुनी है, तो $n$ का मान क्या है?

$2n$ वस्तुओं में से $n$ वस्तुओं के चयन के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए, जिनमें से $n$ वस्तुएं समान हैं और शेष अलग हैं:

एक फुटबॉल चैंपियनशिप में $153$ मैच खेले गए। प्रत्येक टीम ने एक-दूसरे के साथ एक मैच खेला। चैंपियनशिप में भाग लेने वाली टीमों की संख्या है

एक थैले में एक रुपये के $3$ सिक्के,पचास पैसे के $4$ सिक्के और दस पैसे के $5$ सिक्के हैं। यदि थैले में से कम से कम एक सिक्का चुना जाता है,तो चयन के कुल तरीकों की संख्या क्या है?

एक दुकान में $5$ प्रकार की आइसक्रीम उपलब्ध हैं। एक बच्चा $6$ आइसक्रीम खरीदता है।
कथन-$1$: बच्चा $6$ आइसक्रीम $^{10}C_5$ तरीकों से खरीद सकता है।
कथन-$2$: बच्चे द्वारा $6$ आइसक्रीम खरीदने के तरीकों की संख्या,$6$ '$A$' और $4$ '$B$' को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या के बराबर है.

एक छात्र को $(2n+1)$ पुस्तकों के संग्रह से कम से कम $(n+1)$ पुस्तकें चुनने की अनुमति है,लेकिन सभी पुस्तकें नहीं। यदि इन पुस्तकों को चुनने के कुल तरीकों की संख्या $255$ है,तो उस संग्रह में पुस्तकों की संख्या क्या है?