જો સંકલન int_{0}^{1/2} frac{x^{2}}{(1-x^{2})^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{1/2} \frac{x^{2}}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$. અંશને $x^{2} = (x^{2}-1) + 1$ તરીકે લખી શકાય. તેથી,$I = \int_{0}^{1/2} \frac{x^{2}-

Vedclass · Accepted Answer

$2\sqrt{3}-\pi$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{1/2} \frac{x^{2}}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$. અંશને $x^{2} = (x^{2}-1) + 1$ તરીકે લખી શકાય. તેથી,$I = \int_{0}^{1/2} \frac{x^{2}-1}{(1-x^{2})^{3/2}} dx + \int_{0}^{1/2} \frac{1}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$. $I = -\int_{0}^{1/2} \frac{1}{(1-x^{2})^{1/2}} dx + \int_{0}^{1/2} \frac{1}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$. પ્રથમ સંકલન માટે,$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx = \sin^{-1}(x)$. $0$ થી $1/2$ સુધી મૂલ્ય લેતા,આપણને $-[\sin^{-1}(1/2) - \sin^{-1}(0)] = -\pi/6$ મળે છે. બીજા સંકલન માટે,$x = \sin(	heta)$ લો,તો $dx = \cos(	heta) d	heta$. જ્યારે $x=0, 	heta=0$; જ્યારે $x=1/2, 	heta=\pi/6$. $\int_{0}^{\pi/6} \frac{\cos(	heta)}{\cos^{3}(	heta)} d	heta = \int_{0}^{\pi/6} \sec^{2}(	heta) d	heta = [	an(	heta)]_{0}^{\pi/6} = 	an(\pi/6) - 	an(0) = 1/\sqrt{3}$. આમ,$I = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\sqrt{3}-\pi}{6}$. આને $\frac{k}{6}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 2\sqrt{3}-\pi$ મળે છે.

જો સંકલન $\int_{0}^{1/2} \frac{x^{2}}{(1-x^{2})^{3/2}} dx$ નું મૂલ્ય $\frac{k}{6}$ હોય,તો $k$ બરાબર શું થાય?

Similar Questions

સંકલન $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^{2}+2x+5}$ ની કિંમત શોધો.

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{d x}{1+x^{2}}$ ની કિંમત શોધો.

જો $\int_0^3 (3x^2 - 4x + 2) dx = k$ હોય, તો $3x^2 - 4x + 2 = \frac{3k}{5}$ નું અંતરાલ $[0, 3]$ માં આવેલું બીજ કયું છે?

$\int_0^1 \frac{dx}{[ax + b(1 - x)]^2} = $

નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_{1}^{e} (x+1) e^{x} \ln x \, dx$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module