જો સદિશો $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{c} = \alpha\hat{i} + \hat{j} + \beta\hat{k}$ પરસ્પર લંબ હોય,તો $(\alpha, \beta) = $

ધારો કે સદિશો $\vec{a} = -\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ છે. કોઈ $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ માટે, ધારો કે $\vec{c} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b}$ છે. જો $\vec{c} \cdot (3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}) = 10$ અને $\vec{c} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = -2$ હોય, તો $|\vec{c}|^2$ ની કિંમત શોધો:

જો $A(3,2,3)$, $B(1,4,6)$ અને $C(7,4,5)$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના ત્રણ શિરોબિંદુઓ હોય, તો તેના $D$ માંથી પસાર થતા વિકર્ણ અને બાજુ $DC$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ધારો કે $\vec{a} = a_{1} \hat{i} + a_{2} \hat{j} + a_{3} \hat{k}$ જ્યાં $a_{i} > 0, i = 1, 2, 3$ એ એક સદિશ છે જે યામ અક્ષો $OX$,$OY$ અને $OZ$ સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે. વળી,ધારો કે $\vec{a}$ નો સદિશ $3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ પરનો પ્રક્ષેપ $7$ છે. ધારો કે $\vec{b}$ એ $\vec{a}$ ને $90^{\circ}$ ફેરવીને મેળવેલ સદિશ છે. જો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $x$-અક્ષ સમતલીય હોય,તો સદિશ $\vec{b}$ નો $3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ પરનો પ્રક્ષેપ કેટલો થાય?

એક કાટકોણ સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણો પરસ્પર લંબ છે,અને પાયાની લંબાઈનો ગુણોત્તર $AD : BC = 2 : 3$ છે. તો વિકર્ણોની લંબાઈનો ગુણોત્તર શોધો.

ધારો કે $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{k}$, $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{c} = 4\hat{i} - 3\hat{j} + 7\hat{k}$ છે. જો $\vec{r}$ એવો સદિશ હોય કે જેથી $\vec{r} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{b}$ અને $\vec{r} \cdot \vec{a} = 0$ થાય, તો $\vec{r} \cdot \vec{c} = $