જો સદિશો $\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{b}+3 \overrightarrow{c}$,$-2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}-4 \overrightarrow{c}$ અને $\overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}+5 \overrightarrow{c}$ સમતલીય હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

જો $\alpha = 2i + 3j - k$,$\beta = -i + 2j - 4k$ અને $\gamma = i + j + k$ હોય,તો $(\alpha \times \beta) \cdot (\alpha \times \gamma)$ ની કિંમત શોધો.

જો ત્રણ અસમતલીય સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ દ્વારા બનતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ $4$ ઘન એકમ હોય,તો $[\vec{a} \times \vec{b} \quad \vec{b} \times \vec{c} \quad \vec{c} \times \vec{a}]$ ની કિંમત શોધો.

જો સદિશો $\vec{a}=\lambda \hat{i}+\mu \hat{j}+4 \hat{k}$,$\vec{b}=2 \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}$ અને $\vec{c}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$ સમતલીય હોય અને સદિશ $\vec{b}$ પર $\vec{a}$ નો પ્રક્ષેપ $\sqrt{54}$ એકમ હોય,તો $\lambda+\mu$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ધારો કે $\vec{a} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$, $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$, અને $\vec{c} = 4\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ છે, તો સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \text{ અને } \vec{c}$ છે:

જો $\vec{w} = \alpha (\vec{a} \times \vec{b}) + \beta (\vec{b} \times \vec{c}) + \gamma (\vec{c} \times \vec{a})$,$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 2$ અને $\vec{w} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = 8$ હોય,તો $\alpha + \beta + \gamma =$