જો $m \times n$ ક્રમના શ્રેણિક $P$ માં $k$ ક્રમનો અસામાન્ય (non-singular) ઉપશ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવતો હોય,તો $P$ નો શ્રેણીક $(rank)$ $(\rho)$

અમુક $a, b$ માટે,ધારો કે $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} a+\frac{\sin x}{x} & 1 & b \\ a & 1+\frac{\sin x}{x} & b \\ a & 1 & b+\frac{\sin x}{x} \end{array}\right|, \quad x \neq 0$. જો $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lambda + \mu a + \nu b$ હોય,તો $(\lambda + \mu + \nu)^2$ ની કિંમત શોધો:

શ્રેણિક $\left[\begin{array}{cccc}3 & 2 & 1 & -4 \\ 2 & 3 & 0 & -1 \\ 1 & -6 & 3 & -8\end{array}\right]$ નો નિશ્ચાયક (rank) શોધો.

જો $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3+x & x+1 & x-2 \\ 2x^3+3x-1 & 3x & 3x-3 \\ x^3+2x+3 & 2x-1 & 2x-1 \end{array} \right|$ હોય, તો $\frac{d}{dx}(f(x))$ ની કિંમત શોધો.

$b$ ની કઈ કિંમત માટે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 4 & 4 & -3 & 1 \\ b & 2 & 2 & 2 \\ 9 & 9 & b & 3 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક (rank) $3$ થાય?

$A$ એ $5$ ક્રમનો એક સિંગ્યુલર શ્રેણિક છે. $B$ એ બીજો શ્રેણિક છે જેનો રેન્ક $\rho(B)$ એ $\rho(A)$ જેટલો છે અને $B$ પાસે $3$ ક્રમનો શૂન્યતર નિશ્ચાયક (minor) છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?