આકૃતિમાં,$PSDA$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $PS$ પર બિંદુઓ $Q$ અને $R$ એવી રીતે લેવામાં આવ્યા છે કે જેથી $PQ = QR = RS$ અને $PA \parallel QB \parallel RC$ થાય. સાબિત કરો કે $\operatorname{ar}(PQE) = \operatorname{ar}(CFD)$.

(A) $PSDA$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $PS$ પર બિંદુઓ $Q$ અને $R$ એવી રીતે લેવામાં આવ્યા છે કે જેથી $PQ = QR = RS$ અને $PA \parallel QB \parallel RC$ થાય.
આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $\operatorname{ar}(\triangle PQE) = \operatorname{ar}(\triangle CFD)$.
$PSDA$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$PS = AD$ અને $PS \parallel AD$ થાય.
આપેલ છે કે $PQ = QR = RS$,તેથી $PQ = QR = RS = \frac{1}{3} PS$ થાય.
$PA \parallel QB \parallel RC \parallel SD$ હોવાથી,અંતઃખંડના પ્રમેય મુજબ $AB, BC, CD$ પણ સમાન થાય.
તેથી,$AB = BC = CD = \frac{1}{3} AD$ થાય.
આમ,$PQ = CD$ મળે.
હવે,$\triangle PQE$ અને $\triangle CFD$ ને ધ્યાનમાં લો:
$1$. $PQ = CD$ (ઉપર સાબિત કર્યું).
$2$. $\angle QPE = \angle FDC$ (યુગ્મકોણ,કારણ કે $PS \parallel AD$ અને $PD$ છેદિકા છે).
$3$. $\angle PQE = \angle FCD$ (અનુકોણ,કારણ કે $QB \parallel RC$ અને $PS$ છેદિકા છે).
$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle PQE \cong \triangle CFD$ થાય.
એકરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ સમાન હોવાથી,$\operatorname{ar}(\triangle PQE) = \operatorname{ar}(\triangle CFD)$ થાય.