ચતુષ્કોણ $\square ABCD$ માં,$P \in \overline{AB}$,$Q \in \overline{BC}$,$R \in \overline{CD}$ અને $S \in \overline{AD}$ એવી રીતે છે કે જેથી $\frac{AP}{AB} = \frac{CQ}{BC} = \frac{CR}{CD} = \frac{AS}{AD} = \frac{1}{3}$ થાય. સાબિત કરો કે $\square PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(A) આપેલ છે: $\frac{AP}{AB} = \frac{AS}{AD} = \frac{1}{3}$.
$\triangle ABD$ માં,પાયાના સપ્રમાણતાના પ્રમેય $(BPT)$ ના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,કારણ કે $\frac{AP}{AB} = \frac{AS}{AD} = \frac{1}{3}$,તેથી $\frac{AP}{PB} = \frac{AS}{SD} = \frac{1}{2}$ થાય. આમ,$PS \parallel BD$ અને $PS = \frac{1}{3} BD$ મળે.
તે જ રીતે,$\triangle BCD$ માં,કારણ કે $\frac{CQ}{BC} = \frac{CR}{CD} = \frac{1}{3}$,તેથી $\frac{CQ}{QB} = \frac{CR}{RD} = \frac{1}{2}$ થાય. આમ,$QR \parallel BD$ અને $QR = \frac{1}{3} BD$ મળે.
આ બે પરિણામો પરથી,$PS \parallel QR$ અને $PS = QR$ સાબિત થાય છે.
ચતુષ્કોણ $PQRS$ ની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$\square PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.