$\Delta ABC$ में,यदि $A(b, c)$,$B(-a, 0)$ और $C(a, 0)$ हैं और $D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है,तो सिद्ध कीजिए कि $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$.

(N/A) दिए गए निर्देशांक $A(b, c)$,$B(-a, 0)$ और $C(a, 0)$ हैं।
चूंकि $D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $D$ के निर्देशांक $(\frac{-a+a}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0, 0)$ होंगे।
अब,लंबाइयों के वर्गों की गणना करते हैं:
$AB^2 = (b - (-a))^2 + (c - 0)^2 = (b+a)^2 + c^2 = b^2 + 2ab + a^2 + c^2$.
$AC^2 = (b - a)^2 + (c - 0)^2 = b^2 - 2ab + a^2 + c^2$.
दोनों को जोड़ने पर: $AB^2 + AC^2 = (b^2 + 2ab + a^2 + c^2) + (b^2 - 2ab + a^2 + c^2) = 2(a^2 + b^2 + c^2)$.
अब दाईं ओर की गणना करते हैं:
$AD^2 = (b - 0)^2 + (c - 0)^2 = b^2 + c^2$.
$BD^2 = (-a - 0)^2 + (0 - 0)^2 = a^2$.
अतः,$2(AD^2 + BD^2) = 2(b^2 + c^2 + a^2)$.
चूंकि दोनों पक्ष $2(a^2 + b^2 + c^2)$ के बराबर हैं,इसलिए सर्वसमिका सिद्ध होती है।