$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{AD}$ મધ્યગા છે. સાબિત કરો કે $AC^{2} = AD^{2} + 3BD^{2}$.

(A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{AD}$ એ બાજુ $\overline{BC}$ પરની મધ્યગા છે.
$\overline{AD}$ મધ્યગા હોવાથી,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$BD = DC = \frac{1}{2} BC$,જેનો અર્થ છે કે $BC = 2BD$.
કાટકોણ $\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$.
$BC = 2BD$ મૂકતા,આપણને મળે $AC^{2} = AB^{2} + (2BD)^{2} = AB^{2} + 4BD^{2}$. (સમીકરણ $1$)
કાટકોણ $\Delta ABD$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AD^{2} = AB^{2} + BD^{2}$,જેનો અર્થ છે કે $AB^{2} = AD^{2} - BD^{2}$. (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$AC^{2} = (AD^{2} - BD^{2}) + 4BD^{2}$
$AC^{2} = AD^{2} + 3BD^{2}$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.