$\Delta ABC$ में,$m \angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{AD}$ एक माध्यिका है। सिद्ध कीजिए कि $AC^{2} = AD^{2} + 3BD^{2}$।

(A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $\overline{AD}$ भुजा $\overline{BC}$ पर एक माध्यिका है।
चूंकि $\overline{AD}$ एक माध्यिका है,$D$,$\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$BD = DC = \frac{1}{2} BC$,जिसका अर्थ है कि $BC = 2BD$।
समकोण $\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$।
$BC = 2BD$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $AC^{2} = AB^{2} + (2BD)^{2} = AB^{2} + 4BD^{2}$। (समीकरण $1$)
समकोण $\Delta ABD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AD^{2} = AB^{2} + BD^{2}$,जिसका अर्थ है कि $AB^{2} = AD^{2} - BD^{2}$। (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$AC^{2} = (AD^{2} - BD^{2}) + 4BD^{2}$
$AC^{2} = AD^{2} + 3BD^{2}$।
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।