mathbb{R}^3 में,मान लीजिए L मूल बिंदु से गुजर | vedclass

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Question

(A) रेखा $L$ मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरती है और समतलों $P_1$ और $P_2$ से समान दूरी पर है। अतः,$L$ को $P_1$ और $P_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा के समानांतर

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$(A, B)$

Vedclass · Answer

(A) रेखा $L$ मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरती है और समतलों $P_1$ और $P_2$ से समान दूरी पर है। अतः,$L$ को $P_1$ और $P_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा के समानांतर होना चाहिए।मान लीजिए $L$ के दिक-अनुपात $(a, b, c)$ हैं। चूँकि $L$,$P_1$ और $P_2$ के प्रतिच्छेदन के समानांतर है,इसका दिक-सदिश $\vec{n}_1 	imes \vec{n}_2$ के समानांतर है,जहाँ $\vec{n}_1 = (1, 2, -1)$ और $\vec{n}_2 = (2, -1, 1)$ है।$\vec{n}_1 	imes \vec{n}_2 = (1, -3, -5)$ है।अतः,रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x}{1} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{-5} = k$ है।$M$,$L$ पर स्थित बिंदुओं से समतल $P_1$ पर लंबों के पाद का बिंदु-पथ है। यह समतल $P_1$ पर रेखा $L$ का प्रक्षेप है।रेखा का समतल पर प्रक्षेप एक रेखा होती है। $L$ पर $k=0$ के लिए बिंदु $(0, 0, 0)$ है। मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से $P_1: x+2y-z+1=0$ पर लंब का पाद $\left(-\frac{1}{6}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{6}ight)$ है,जो बिंदु $(B)$ है।चूँकि $M$,$(B)$ से गुजरने वाली एक रेखा है,दिए गए बिंदुओं की जाँच करने पर यह ज्ञात होता है कि बिंदु $(A) \left(0, -\frac{5}{6}, -\frac{2}{3}ight)$ समतल $P_1$ पर स्थित है और यह $M$ पर भी स्थित है।

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बिंदुओं $(1, 1, -1)$ और $(3, -1, 0)$ से गुजरने वाली रेखा समतल $\sqrt{\lambda} x + 3y + 6z = 17$ के साथ $\operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)$ का कोण बनाती है। तो $\lambda =$

समतलों $x + y + z = 6$ और $2x + 3y + 4z + 5 = 0$ के प्रतिच्छेदन और बिंदु $(1, 1, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि रेखा $\bar{r}=(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k})+\lambda(2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})$,समतल $\bar{r} \cdot(3 \hat{i}-2 \hat{j}-m \hat{k})=5$ के समांतर है,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।

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