एक $\triangle PQR$ में,$PR^{2} - PQ^{2} = QR^{2}$ है और $M$,भुजा $PR$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $QM \perp PR$ है। सिद्ध कीजिए कि $QM^{2} = PM \times MR$ है।

(N/A) दिया है: $\triangle PQR$ में,$PR^{2} - PQ^{2} = QR^{2}$ और $QM \perp PR$ है।
सिद्ध करना है: $QM^{2} = PM \times MR$ है।
उपपत्ति: चूंकि $PR^{2} - PQ^{2} = QR^{2}$,इसलिए $PR^{2} = PQ^{2} + QR^{2}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से,$\triangle PQR$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण $Q$ समकोण है।
$\triangle QMR$ और $\triangle PMQ$ में:
$\angle M = \angle M = 90^{\circ}$ (दिया है $QM \perp PR$ और $\angle PQR = 90^{\circ}$ का अर्थ है $\angle MQR + \angle MQP = 90^{\circ}$)।
चूंकि $\angle P + \angle R = 90^{\circ}$ और $\angle MQR + \angle R = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle MQR = \angle P$ है।
इसी प्रकार,$\angle MQP = \angle R$ है।
अतः,$AA$ समरूपता कसौटी द्वारा $\triangle QMR \sim \triangle PMQ$ है।
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान होता है:
$\frac{QM}{PM} = \frac{MR}{QM}$।
इसलिए,$QM^{2} = PM \times MR$ है। इति सिद्धम्।