$3$ છોકરીઓ અને $4$ છોકરાઓના જૂથમાં,બે છોકરાઓ $B_1$ અને $B_2$ છે. આ છોકરીઓ અને છોકરાઓ એક હરોળમાં એવી રીતે ઊભા રહી શકે કે જેથી બધી છોકરીઓ સાથે હોય,બધા છોકરાઓ સાથે હોય,પરંતુ $B_1$ અને $B_2$ એકબીજાની બાજુમાં ન હોય,તેવા કુલ કેટલા પ્રકારો છે?

પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,$(n!)^2 > n^n$ સાચું છે જો:

એક પ્રશ્નપત્રમાં $3$ ભાગ $A, B, C$ છે. ભાગ $A$ માં $7$ પ્રશ્નો,ભાગ $B$ માં $5$ પ્રશ્નો અને ભાગ $C$ માં $3$ પ્રશ્નો છે. જો ઉમેદવારને ભાગ $A$ માંથી $4$ થી વધુ નહીં,ભાગ $B$ માંથી $3$ થી વધુ નહીં અને ભાગ $C$ માંથી $2$ થી વધુ નહીં તેવા પ્રશ્નોના જવાબ આપવાની છૂટ હોય,તો ઉમેદવાર બરાબર $7$ પ્રશ્નોના જવાબ કેટલી રીતે આપી શકે?

$30$ સમાન કેન્ડીને ચાર બાળકો $C_{1}, C_{2}, C_{3}$ અને $C_{4}$ વચ્ચે એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી $C_{2}$ ને ઓછામાં ઓછી $4$ અને વધુમાં વધુ $7$ કેન્ડી મળે,અને $C_{3}$ ને ઓછામાં ઓછી $2$ અને વધુમાં વધુ $6$ કેન્ડી મળે.

જો $^nP_3 + ^nC_{n-2} = 14n$ હોય,તો $n = $

ધારો કે $m$ (અનુક્રમે $n$) એ $1, 2, 3, 4, 5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તન સાથે (અનુક્રમે પુનરાવર્તન વગર) બનતી $5$-અંકી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે,જેથી કોઈપણ બે પાસપાસેના અંકોનો સરવાળો એકી સંખ્યા થાય. તો $\frac{m}{n}$ ની કિંમત શોધો.