त्रिभुज ABC में,यदि a, b, c समांतर श्रेणी में | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है। ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c

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$2 : 9 : 12$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है। ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$2 \sin B = \sin A + \sin C$। चूंकि $A = 2C$ है,इसलिए $2 \sin B = \sin 2C + \sin C = 2 \sin C \cos C + \sin C = \sin C (2 \cos C + 1)$। $B = 180^{\circ} - (A + C) = 180^{\circ} - 3C$ होने के कारण,$\sin B = \sin 3C = 3 \sin C - 4 \sin^3 C$। इसे प्रतिस्थापित करने पर,$2(3 \sin C - 4 \sin^3 C) = \sin C (2 \cos C + 1)$। $\sin C$ से विभाजित करने पर $(\sin C 
eq 0)$,$6 - 8 \sin^2 C = 2 \cos C + 1$। $\sin^2 C = 1 - \cos^2 C$ का उपयोग करने पर,$6 - 8(1 - \cos^2 C) = 2 \cos C + 1$,जो सरल होकर $8 \cos^2 C - 2 \cos C - 3 = 0$ हो जाता है। इस द्विघात समीकरण को हल करने पर,$(4 \cos C + 3)(2 \cos C - 1) = 0$। चूंकि $C$ त्रिभुज का एक कोण है,इसलिए $\cos C = 3/4$ प्राप्त होता है। अतः $\cos A = 1/8$,$\cos B = 9/16$,और $\cos C = 3/4$। इसलिए $\cos A : \cos B : \cos C = 1/8 : 9/16 : 3/4 = 2 : 9 : 12$।

त्रिभुज $ABC$ में,यदि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं और कोण $A$,कोण $C$ का दोगुना है,तो $\cos A : \cos B : \cos C =$

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