એક $A.P.$ માં,જો $p^{\text{th}}$ પદ $\frac{1}{q}$ હોય અને $q^{\text{th}}$ પદ $\frac{1}{p}$ હોય,તો સાબિત કરો કે પ્રથમ $pq$ પદોનો સરવાળો $\frac{1}{2}(pq+1)$ છે,જ્યાં $p \neq q$.

$A.P.$ નું સામાન્ય પદ $a_n = a + (n-1)d$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
$a_p = a + (p-1)d = \frac{1}{q}$ $(1)$
$a_q = a + (q-1)d = \frac{1}{p}$ $(2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$(p-1)d - (q-1)d = \frac{1}{q} - \frac{1}{p}$
$(p-q)d = \frac{p-q}{pq}$
$p \neq q$ હોવાથી,$d = \frac{1}{pq}$ મળે.
$d$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$a + (p-1)\frac{1}{pq} = \frac{1}{q}$
$a = \frac{1}{q} - \frac{p-1}{pq} = \frac{p - (p-1)}{pq} = \frac{1}{pq}$.
પ્રથમ $pq$ પદોનો સરવાળો $S_{pq} = \frac{pq}{2}[2a + (pq-1)d]$ છે.
$S_{pq} = \frac{pq}{2}[2(\frac{1}{pq}) + (pq-1)(\frac{1}{pq})]$
$S_{pq} = \frac{pq}{2}[\frac{2 + pq - 1}{pq}]$
$S_{pq} = \frac{pq}{2}[\frac{pq+1}{pq}] = \frac{1}{2}(pq+1)$.