एक चुनाव में,उम्मीदवारों की संख्या चुने जाने वाले व्यक्तियों की संख्या से $1$ अधिक है। यदि एक मतदाता $254$ तरीकों से मतदान कर सकता है,तो उम्मीदवारों की संख्या क्या है?

$35$ सेबों को $3$ लड़कों के बीच इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक को कितने भी सेब मिल सकें।

$8$ पुरुषों और $10$ महिलाओं में से $5$ पुरुषों और $6$ महिलाओं की एक समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?

$3$ प्रशिक्षुओं,$4$ प्रोफेसरों और $6$ अनुसंधान सहयोगियों में से $5$ सदस्यों की एक समिति बनाई जानी है। यदि समिति में सभी $4$ प्रोफेसर और $1$ अनुसंधान सहयोगी या सभी $3$ प्रशिक्षु और $2$ प्रोफेसर होने चाहिए,तो यह कितने अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है?

यदि $MOTHER$ शब्द के अक्षरों को व्यवस्थित किया जाए और इस प्रकार बने सभी शब्दों को (अर्थपूर्ण या अर्थहीन) शब्दकोश के क्रम में सूचीबद्ध किया जाए,तो $MOTHER$ शब्द का स्थान क्या होगा?

'$MATHEMATICS$' शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है,जब सभी स्वर एक साथ आएं?