एक समद्विबाहु त्रिभुज $ABC$ में,शीर्ष $A$ $(6,1)$ है और आधार $BC$ का समीकरण $2x + y = 4$ है। मान लीजिए कि बिंदु $B$ रेखा $x + 3y = 7$ पर स्थित है। यदि $(\alpha, \beta)$ $\triangle ABC$ का केंद्रक है,तो $15(\alpha + \beta)$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना कि एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की दो आसन्न भुजाओं के समीकरण $2x - 3y = -23$ और $5x + 4y = 23$ हैं। यदि इसके एक विकर्ण $AC$ का समीकरण $3x + 7y = 23$ है और दूसरे विकर्ण से $A$ की दूरी $d$ है,तो $50d^2$ का मान $........$ है।

सरल रेखाएँ $x-y=7$ और $x+4y=2$ बिंदु $B$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। इन दो रेखाओं पर बिंदु $A$ और $C$ इस प्रकार चुने गए हैं कि $AB=AC$ हो। $(2,-7)$ से गुजरने वाली रेखा $AC$ का समीकरण ज्ञात कीजिए।

$xy + 2x + 2y + 4 = 0$ और $x + y + 2 = 0$ रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का परिकेंद्र ज्ञात कीजिए।

$a$ लंबाई की प्रत्येक भुजा वाला एक वर्ग $x$-अक्ष के ऊपर स्थित है और इसका एक शीर्ष मूल बिंदु पर है। मूल बिंदु से गुजरने वाली भुजाओं में से एक भुजा $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $\alpha$ $(0 < \alpha < \frac{\pi}{4})$ कोण बनाती है। वर्ग के विकर्णों के समीकरण ज्ञात कीजिए।

एक किसान के पास गुंटूर में एक त्रिकोणीय भूखंड है। वह अपनी संपत्ति की भुजाओं की लंबाई $4 \text{ cm}$,$5 \text{ cm}$ और $7 \text{ cm}$ मापता है। तो $\text{sq. cm}$ में किसान की भूमि का क्षेत्रफल है