આકૃતિમાં,$ABC$ એ $A$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે. $BCED$,$ACFG$ અને $ABMN$ એ અનુક્રમે $BC$,$CA$ અને $AB$ બાજુઓ પરના ચોરસ છે. રેખાખંડ $AX \perp DE$ એ $BC$ ને $Y$ માં મળે છે. સાબિત કરો કે: $\operatorname{ar}(BCED) = \operatorname{ar}(ABMN) + \operatorname{ar}(ACFG)$

(N/A) સાબિત કરવાનું છે: $\operatorname{ar}(BCED) = \operatorname{ar}(ABMN) + \operatorname{ar}(ACFG)$.
$1$. $AD$ અને $FC$ ને જોડો. $\triangle ABD$ અને $\triangle MBC$ ને ધ્યાનમાં લો. $AB = MB$ (ચોરસ $ABMN$ ની બાજુઓ),$BD = BC$ (ચોરસ $BCED$ ની બાજુઓ),અને $\angle ABD = \angle ABC + 90^\circ = \angle MBC + 90^\circ = \angle MBC$. આમ,$SAS$ એકરૂપતા મુજબ $\triangle ABD \cong \triangle MBC$.
$2$. $\triangle ABD$ અને ચોરસ $ABMN$ એક જ પાયા $AB$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $MD$ ની વચ્ચે આવેલા હોવાથી,$\operatorname{ar}(ABD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABMN)$.
$3$. તેવી જ રીતે,$\triangle MBC$ અને લંબચોરસ $BYXD$ એક જ પાયા $BD$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $BD$ અને $CX$ ની વચ્ચે આવેલા હોવાથી,$\operatorname{ar}(MBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BYXD)$.
$4$. $\triangle ABD \cong \triangle MBC$ હોવાથી,તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન છે. તેથી,$\frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABMN) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BYXD)$,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{ar}(ABMN) = \operatorname{ar}(BYXD)$.
$5$. સમાન તર્ક દ્વારા,$\operatorname{ar}(ACFG) = \operatorname{ar}(CYXE)$.
$6$. આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$\operatorname{ar}(ABMN) + \operatorname{ar}(ACFG) = \operatorname{ar}(BYXD) + \operatorname{ar}(CYXE) = \operatorname{ar}(BCED)$.