આકૃતિમાં,$O$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ના અંદરના ભાગમાં આવેલું એક બિંદુ છે,$OD \perp BC$,$OE \perp AC$ અને $OF \perp AB$ છે. સાબિત કરો કે $AF^{2} + BD^{2} + CE^{2} = AE^{2} + CD^{2} + BF^{2}$.

(N/A) $OA$,$OB$ અને $OC$ ને જોડો.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AFO$,$\triangle BDO$ અને $\triangle CEO$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$OA^{2} = AF^{2} + OF^{2} \implies AF^{2} = OA^{2} - OF^{2}$ ... $(i)$
$OB^{2} = BD^{2} + OD^{2} \implies BD^{2} = OB^{2} - OD^{2}$ ... $(ii)$
$OC^{2} = CE^{2} + OE^{2} \implies CE^{2} = OC^{2} - OE^{2}$ ... $(iii)$
$(i)$,$(ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$AF^{2} + BD^{2} + CE^{2} = (OA^{2} - OF^{2}) + (OB^{2} - OD^{2}) + (OC^{2} - OE^{2})$ ... $(iv)$
તે જ રીતે,કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AEO$,$\triangle CDO$ અને $\triangle BFO$ માં:
$OA^{2} = AE^{2} + OE^{2} \implies AE^{2} = OA^{2} - OE^{2}$
$OC^{2} = CD^{2} + OD^{2} \implies CD^{2} = OC^{2} - OD^{2}$
$OB^{2} = BF^{2} + OF^{2} \implies BF^{2} = OB^{2} - OF^{2}$
આનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$AE^{2} + CD^{2} + BF^{2} = (OA^{2} - OE^{2}) + (OC^{2} - OD^{2}) + (OB^{2} - OF^{2})$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આ સમીકરણ $(iv)$ ની જમણી બાજુ જેટલું જ છે.
આમ,$AF^{2} + BD^{2} + CE^{2} = AE^{2} + CD^{2} + BF^{2}$.