$MAXIMA$ શબ્દના અક્ષરોને કેટલી રીતે ગોઠવી શકાય કે જેથી બધા સ્વરો સાથે હોય અને બધા વ્યંજનો સાથે હોય?

$CRICKET$ શબ્દના અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને બનતા $7$ અક્ષરોવાળા શબ્દોનો એક શબ્દકોશ છાપવામાં આવે છે. જો આ શબ્દોને સામાન્ય શબ્દકોશની જેમ મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે,તો $CRICKET$ શબ્દ પહેલા આવતા શબ્દોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $S_3$ એ $S_1$ અને $S_2$ બંને પછી ભાષણ આપવા માંગતા હોય,તો $5$ વક્તાઓ $S_1, S_2, S_3, S_4$ અને $S_5$ એક પછી એક કેટલી રીતે ભાષણ આપી શકે?

$EQUATION$ શબ્દના તમામ અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને,અર્થપૂર્ણ કે અર્થહીન એવા કેટલા શબ્દો બનાવી શકાય કે જેથી સ્વરો અને વ્યંજનો સાથે આવે?

$n = 1, 2, 3, . . . , 50$ માટે,ધારો કે $A = \{ a_n \mid a_n = \begin{cases} (-1)^{\frac{n}{2}} (\frac{n}{2}), & \text{જો } n \text{ બેકી હોય} \\ (-1)^{\frac{n-1}{2}} (\frac{n-1}{2}), & \text{જો } n \text{ એકી હોય} \end{cases} \}$ અને $B$ એ $A$ ના તમામ ભિન્ન ઘટકોનો ગણ છે. ગણ $B$ ના તમામ ઘટકોના એવા ક્રમચયોની સંખ્યા જેમાં બેકી પૂર્ણાંકો ચડતા ક્રમમાં હોય,તે છે:

જો $\frac{^{56}P_{r+6}}{^{54}P_{r+3}} = 30800$ હોય,તો $r = \dots$