નીચેના કિસ્સાઓમાં,આપેલા સમતલો સમાંતર છે કે લંબ તે નક્કી કરો,અને જો તે બંનેમાંથી એક પણ ન હોય,તો તેમની વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.
$2x + y + 3z - 2 = 0$ અને $x - 2y + 5 = 0$

(B) સમતલ $L_1: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ ના અભિલંબના દિક-ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ છે અને $L_2: a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ માટે $(a_2, b_2, c_2)$ છે.
જો $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ હોય તો $L_1 \parallel L_2$.
જો $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ હોય તો $L_1 \perp L_2$.
$L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં સમતલોના સમીકરણો $2x + y + 3z - 2 = 0$ અને $x - 2y + 0z + 5 = 0$ છે.
અહીં,$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = 3$ અને $a_2 = 1, b_2 = -2, c_2 = 0$.
અભિલંબ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર ગણતા: $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = (2)(1) + (1)(-2) + (3)(0) = 2 - 2 + 0 = 0$.
ડોટ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,આપેલા સમતલો એકબીજાને લંબ છે.