$y' = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$ અને $y(1) = 2$ નું સમાધાન કરતા સંકલિત વક્રનો $(1, 0)$ બિંદુએ ઢાળ કેટલો થાય?

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x \tan \left(\frac{y}{x}\right) d y=\left(y \tan \left(\frac{y}{x}\right)-x\right) d x$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $-1 \leq x \leq 1$ અને $y\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}$ છે. તો ઉપરના અર્ધતલમાં વક્રો $x=0$,$x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $y=y(x)$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

એક વક્ર બિંદુ $\left( 1, \frac{\pi}{4} \right)$ માંથી પસાર થાય છે અને કોઈપણ બિંદુએ તેનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2 \left( \frac{y}{x} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વક્રનું સમીકરણ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(x + y)dx + xdy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

એક નિષ્પક્ષ સિક્કાને $3$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે. જો ત્રીજા ઉછાળમાં છાપ (head) મળે,તો પ્રથમ બે ઉછાળમાં ઓછામાં ઓછી એક વધુ છાપ મળવાની સંભાવના કેટલી છે?

દર્શાવો કે વિકલ સમીકરણ $y^{\prime} = \frac{x+y}{x}$ એ સમપરિમાણીય (homogeneous) સમીકરણ છે અને તેનો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.