फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}}$

हमें समाकलन $I = \int \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,हम अंश को वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक के अवकलज के रूप में व्यक्त करते हैं,जो $\frac{d}{dx}(x^2+2x+3) = 2x+2$ है।
$\int \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2(x+2)}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+4}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx$
$= \frac{1}{2} \int \frac{2x+2+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx + \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx$
माना $I_1 = \int \frac{2x+2}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx$ और $I_2 = \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+2 x+3}} dx$ है।
$I_1$ के लिए,$t = x^2+2x+3$ लेने पर,$dt = (2x+2)dx$ प्राप्त होता है।
$I_1 = \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = 2\sqrt{t} = 2\sqrt{x^2+2x+3}$।
$I_2$ के लिए,पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^2+2x+3 = (x+1)^2 + 2 = (x+1)^2 + (\sqrt{2})^2$।
$I_2 = \int \frac{dx}{\sqrt{(x+1)^2 + (\sqrt{2})^2}} = \log |(x+1) + \sqrt{(x+1)^2 + 2}| = \log |(x+1) + \sqrt{x^2+2x+3}|$।
इन दोनों को मिलाने पर,$I = \frac{1}{2}(2\sqrt{x^2+2x+3}) + \log |(x+1) + \sqrt{x^2+2x+3}| + C$।
अंतिम उत्तर: $I = \sqrt{x^2+2x+3} + \log |(x+1) + \sqrt{x^2+2x+3}| + C$।