ધારો કે $A$ એક એવો શ્રેણિક છે કે જેથી $A \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ એક અદિશ શ્રેણિક (scalar matrix) છે અને $|3A| = 108$ છે. તો $A^2$ બરાબર શું થાય?

ધારો કે $x \in R$ અને $P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$,$Q = \begin{bmatrix} 2 & x & x \\ 0 & 4 & 0 \\ x & x & 6 \end{bmatrix}$ અને $R = PQP^{-1}$ છે. તો નીચેનામાંથી કયો/કયા વિકલ્પ સાચો/સાચા છે?
$(1)$ $x = 1$ માટે,એક એવો એકમ સદિશ $\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેના માટે $R \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ થાય.
$(2)$ એક એવી વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $PQ = QP$ થાય.
$(3)$ $\det R = \det \begin{bmatrix} 2 & x & x \\ 0 & 4 & 0 \\ x & x & 5 \end{bmatrix} + 8$,તમામ $x \in R$ માટે.
$(4)$ $x = 0$ માટે,જો $R \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix} = 6 \begin{bmatrix} 1 \\ a \\ b \end{bmatrix}$ હોય,તો $a + b = 5$.

ધારો કે $P$ એ એક ચોરસ શ્રેણિક છે જેથી $P^2 = I - P$ થાય. $\alpha, \beta, \gamma, \delta \in N$ માટે,જો $P^\alpha + P^\beta = \gamma I - 29 P$ અને $P^\alpha - P^\beta = \delta I - 13 P$ હોય,તો $\alpha + \beta + \gamma - \delta$ ની કિંમત $........$ થાય.

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -3 \\ -2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 0 \end{bmatrix}$ અને $B$ એક એવો શ્રેણિક છે કે જેથી $B(I - A) = I + A$ થાય. તો $B^T B$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો $A$ અને $B$ એ $3$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિકો હોય,તો $|(A-A^T)+(B-B^T)|=$

જો $A = \begin{bmatrix} 1 + a^2 + a^4 & 1 + ab + a^2b^2 & 1 + ac + a^2c^2 \\ 1 + ab + a^2b^2 & 1 + b^2 + b^4 & 1 + bc + b^2c^2 \\ 1 + ac + a^2c^2 & 1 + bc + b^2c^2 & 1 + c^2 + c^4 \end{bmatrix}$ અને $\det(A) = \det(4I)$ હોય,જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ એકમ શ્રેણિક છે,તો $(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3$ ની કિંમત શું હોઈ શકે?