ધારો કે $A = \{1, 2, 3, 4\}$ અને $R : A \to A$ એ $R = \{ (1, 1), (2, 3), (3, 4), (4, 2) \}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સંબંધ છે. તો સાચું વિધાન કયું છે?

વિધેયો $f$ અને $g$ માટે,જ્યાં $f: [0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow R$ અને $f(x) = \sin x$ તથા $g: [0, \frac{\pi}{2}] \rightarrow R$ અને $g(x) = \cos x$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સત્ય છે?

નીચે બે વિધાનો આપેલા છે:
વિધાન $I$: $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f:R \rightarrow R$ એક-એક (one-one) છે.
વિધાન $II$: $f(x) = \frac{x^{2}+4x-30}{x^{2}-8x+18}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f:R \rightarrow R$ અનેક-એક (many-one) છે.
ઉપરોક્ત વિધાનોના પ્રકાશમાં, નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો:

$f: R-\{1\} \rightarrow R-\{2\}$ માટે, $f(x)=\frac{2x}{x-1}$ દ્વારા આપેલ વિધેય માટે નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ધારો કે $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ એ $f(x) = x^3 + 2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો,$f$ એ . . . . . . છે.

તદેવ વિધેય $I_{N}: N \rightarrow N$ ધ્યાનમાં લો,જે $I_{N}(x) = x$ દરેક $x \in N$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે. દર્શાવો કે જોકે $I_{N}$ વ્યાપ્ત (onto) છે,પરંતુ $I_{N} + I_{N}: N \rightarrow N$ જે $(I_{N} + I_{N})(x) = I_{N}(x) + I_{N}(x) = x + x = 2x$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,તે વ્યાપ્ત નથી.