ધારો કે A અને B એ mathbb{R} માં અરિક્ત ગણો છે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) વિધેય $f : A 	o B$ એક-વ્યાપ્ત (bijective) ત્યારે કહેવાય જ્યારે તે એક-એક (injective) અને વ્યાપ્ત (surjective) બંને હોય. વિધાન $1$ જણાવે છે કે $f$

Vedclass · Accepted Answer

વિધાન $1$ સાચું છે,વિધાન $2$ સાચું છે; વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

Vedclass · Answer

(D) વિધેય $f : A 	o B$ એક-વ્યાપ્ત (bijective) ત્યારે કહેવાય જ્યારે તે એક-એક (injective) અને વ્યાપ્ત (surjective) બંને હોય. વિધાન $1$ જણાવે છે કે $f$ એક વ્યાપ્ત વિધેય છે,જે એક-વ્યાપ્ત વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ સાચું છે. વિધાન $2$ જણાવે છે કે એવું વિધેય $g : B 	o A$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f \circ g = I_B$ થાય. કારણ કે $f$ એક-વ્યાપ્ત છે,તે વ્યસ્ત વિધેય ધરાવે છે,એટલે કે એવું પ્રતિવિધેય $f^{-1} : B 	o A$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f \circ f^{-1} = I_B$ થાય. આમ,$g = f^{-1}$ શરતનું પાલન કરે છે. તેથી,વિધાન $2$ પણ સાચું છે. જોકે,વિધાન $2$ એ એક-વ્યાપ્તતાથી મળતા વ્યસ્તતાના ગુણધર્મને દર્શાવે છે,જ્યારે વિધાન $1$ એ એક-વ્યાપ્તતાના એક ભાગની વ્યાખ્યા છે. વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ નું કારણ નથી; બંને $f$ ના એક-વ્યાપ્ત હોવાના પરિણામો છે. તેથી,વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

Similar Questions

સાબિત કરો કે વિધેય $f: R \rightarrow R$,જે $f(x)=2x$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તે એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.

ધારો કે $A=\{1,2,3\}, \,B=\{4,5,6,7\}$ અને $f=\{(1,4),\,(2,5),\,(3,6)\}$ એ $A$ થી $B$ પરનું વિધેય છે. સાબિત કરો કે $f$ એક-એક (one-one) વિધેય છે.

જો $f(x) = \begin{cases} [x] & \text{જો } -3 < x \leq -1 \\ |x| & \text{જો } -1 < x < 1 \\ |[x]| & \text{જો } 1 \leq x < 3 \end{cases}$ હોય,તો ગણ $\{x : f(x) \geq 0\}$ કોના બરાબર છે?

વિધેય $f(x) = \log (x + \sqrt {{x^2} + 1} )$ એ:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module