ધારો કે $f : [0,1] \to R$ એવું છે કે જેથી તમામ $x, y \in [0,1]$ માટે $f(xy) = f(x)f(y)$ થાય,અને $f(0) \ne 0.$ જો $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = f(x)$ નું સમાધાન કરે છે જ્યાં $y(0) = 1,$ તો $y\left( \frac{1}{4} \right) + y\left( \frac{3}{4} \right)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f$ એ $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ પર વ્યાખ્યાયિત વિકલનીય વિધેય છે,જેથી $f(x) > 0$ અને $f(x)+\int \limits_0^x f(t) \sqrt{1-\left(\log _e f(t)\right)^2} d t=e, \forall x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$. તો $\left(6 \log _{ e } f \left(\frac{\pi}{6}\right)\right)^2$ ની કિંમત $.............$ છે.

કોઈ દેશની વસ્તીમાં થતો વધારો તે સમયે હાજર વસ્તીના પ્રમાણમાં છે. જો વસ્તી $50$ વર્ષમાં બમણી થાય,તો તેને પોતાની જાતથી ચાર ગણી થતા કેટલો સમય લાગશે ($\text{વર્ષ}$ માં)?

એક નવી ખોલેલી બેંકમાં મુદ્દલ વાર્ષિક $10 \%$ ના દરે સતત વધે છે. આ બેંકમાં રૂ. $2000$ જમા કરવામાં આવે છે. $5$ વર્ષ પછી તે કેટલા થશે? $(e^{0.5} = 1.648)$

ચોક્કસ પ્રજાતિની સમય $t$ પરની વસ્તી $P = P(t)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dP}{dt} = 0.5P - 450$ ને અનુસરે છે. જો $P(0) = 850$ હોય,તો વસ્તી શૂન્ય થાય તે સમય છે:

જો એક પદાર્થ $25^{\circ} C$ ના ઓરડાના તાપમાને $60 \text{ મિનિટમાં}$ $135^{\circ} C$ થી ઘટીને $80^{\circ} C$ થાય છે,તો $2 \text{ કલાક}$ પછી પદાર્થનું તાપમાન કેટલું હશે ($^{\circ} C$ માં)?