मान लीजिए f(x) = a^x (a 0) को f(x) = f_1(x) | vedclass

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Question

(B) हम जानते हैं कि किसी भी फलन $f(x)$ को एक सम फलन $f_1(x)$ और एक विषम फलन $f_2(x)$ के योग के रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:$f_1(x) = \fra

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$2f_1(x)f_1(y)$

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(B) हम जानते हैं कि किसी भी फलन $f(x)$ को एक सम फलन $f_1(x)$ और एक विषम फलन $f_2(x)$ के योग के रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:$f_1(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = \frac{a^x + a^{-x}}{2}$$f_2(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{a^x - a^{-x}}{2}$अब,हम $f_1(x + y) + f_1(x - y)$ की गणना करते हैं:$f_1(x + y) + f_1(x - y) = \frac{a^{x+y} + a^{-(x+y)}}{2} + \frac{a^{x-y} + a^{-(x-y)}}{2}$$= \frac{1}{2} [a^x a^y + a^{-x} a^{-y} + a^x a^{-y} + a^{-x} a^y]$$= \frac{1}{2} [a^x(a^y + a^{-y}) + a^{-x}(a^y + a^{-y})]$$= \frac{1}{2} (a^x + a^{-x})(a^y + a^{-y})$$= 2 \left( \frac{a^x + a^{-x}}{2} \right) \left( \frac{a^y + a^{-y}}{2} \right)$$= 2 f_1(x) f_1(y)$

सूची-$I$	सूची-$II$
$A$. $G \times G$ से $G$ तक के गैर-बायजेक्टिव फलनों की संख्या	$I$. $24$
$B$. $A$ से $A$ तक के बायजेक्टिव फलनों की संख्या	$II$. $0$
$C$. $G$ से $G \times A$ तक के फलनों की संख्या	$III$. $1728$
$D$. $A$ से $A \times A$ तक के आच्छादक (surjective) फलनों की संख्या	$IV$. $12$
	$V$. $19683$

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यदि $f(x) = \log_e \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$,$|x| < 1$ है,तो $f\left( \frac{2x}{1+x^2} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

कुल फलनों $f: \{1, 2, 3, 4\} \to \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ की संख्या,जिनके लिए $f(1) + f(2) = f(3)$ है,बराबर है:

यदि $R \subset A \times B$ तथा $S \subset B \times C$ है,तो संबंध $(SoR)^{-1} = $

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