मान लीजिए कि alpha और beta समीकरण x^2 + x + 1 | vedclass

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Question

(C) समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ के मूल $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ और $\omega^2$ इकाई के सम्मिश्र घनमूल हैं। ध्यान दें कि $

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$y^3$

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(C) समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ के मूल $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ और $\omega^2$ इकाई के सम्मिश्र घनमूल हैं। ध्यान दें कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ होता है।मान लीजिए सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} y + 1 & \omega & \omega^2 \ \omega & y + \omega^2 & 1 \ \omega^2 & 1 & y + \omega \end{array} ight|$ है।पंक्ति संक्रिया $R_1 	o R_1 + R_2 + R_3$ लागू करने पर:$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} y + 1 + \omega + \omega^2 & y + 1 + \omega + \omega^2 & y + 1 + \omega + \omega^2 \ \omega & y + \omega^2 & 1 \ \omega^2 & 1 & y + \omega \end{array} ight|$चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0,$ इसलिए पहली पंक्ति $y, y, y$ हो जाती है।$\Delta = y \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \ \omega & y + \omega^2 & 1 \ \omega^2 & 1 & y + \omega \end{array} ight|$स्तंभ संक्रिया $C_2 	o C_2 - C_1$ और $C_3 	o C_3 - C_1$ लागू करने पर:$\Delta = y \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \ \omega & y + \omega^2 - \omega & 1 - \omega \ \omega^2 & 1 - \omega^2 & y + \omega - \omega^2 \end{array} ight|$पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:$\Delta = y \left[ (y + \omega^2 - \omega)(y + \omega - \omega^2) - (1 - \omega)(1 - \omega^2) ight]$$\Delta = y \left[ (y + (\omega^2 - \omega))(y - (\omega^2 - \omega)) - (1 - \omega^2 - \omega + \omega^3) ight]$$\Delta = y \left[ y^2 - (\omega^2 - \omega)^2 - (1 - (\omega^2 + \omega) + 1) ight]$चूंकि $\omega^2 + \omega = -1,$ इसलिए $\Delta = y \left[ y^2 - (\omega^4 - 2\omega^3 + \omega^2) - (1 - (-1) + 1) ight] = y \left[ y^2 - (\omega - 2 + \omega^2) - 3 ight]$$\Delta = y \left[ y^2 - (-1 - 2) - 3 ight] = y \left[ y^2 + 3 - 3 ight] = y^3.$अतः,सही उत्तर $y^3$ है।

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यदि $a_i, b_i, c_i \in \mathbb{R}$ जहाँ $i=1, 2, 3$ और $x \in \mathbb{R}$ तथा $\begin{vmatrix} a_1+b_1 x & a_1 x+b_1 & c_1 \\ a_2+b_2 x & a_2 x+b_2 & c_2 \\ a_3+b_3 x & a_3 x+b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0$ है, तो:

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