मान लीजिए alpha in (0, pi /2) स्थिर है। यदि स | vedclass

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Question

(C) हमें समाकलन $I = \int \frac{	an x + 	an \alpha}{	an x - 	an \alpha} dx$ दिया गया है।सर्वसमिका $	an x \pm 	an \alpha = \frac{\sin(x \pm \alph

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$x - \alpha$ और $\log_e |\sin (x - \alpha)|$

Vedclass · Answer

(C) हमें समाकलन $I = \int \frac{	an x + 	an \alpha}{	an x - 	an \alpha} dx$ दिया गया है।सर्वसमिका $	an x \pm 	an \alpha = \frac{\sin(x \pm \alpha)}{\cos x \cos \alpha}$ का उपयोग करते हुए:$I = \int \frac{\sin(x + \alpha) / (\cos x \cos \alpha)}{\sin(x - \alpha) / (\cos x \cos \alpha)} dx = \int \frac{\sin(x + \alpha)}{\sin(x - \alpha)} dx$.माना $t = x - \alpha$,तो $x = t + \alpha$ और $dx = dt$। इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int \frac{\sin(t + 2\alpha)}{\sin t} dt$.$\sin(t + 2\alpha) = \sin t \cos 2\alpha + \cos t \sin 2\alpha$ का विस्तार करने पर:$I = \int \frac{\sin t \cos 2\alpha + \cos t \sin 2\alpha}{\sin t} dt$$I = \int \cos 2\alpha dt + \int \cot t \sin 2\alpha dt$$I = t \cos 2\alpha + \sin 2\alpha \ln |\sin t| + C$.$t = x - \alpha$ वापस रखने पर:$I = (x - \alpha) \cos 2\alpha + \ln |\sin (x - \alpha)| \sin 2\alpha + C$.इसकी तुलना $A(x) \cos 2\alpha + B(x) \sin 2\alpha + C$ से करने पर,हमें $A(x) = x - \alpha$ और $B(x) = \ln |\sin (x - \alpha)|$ प्राप्त होता है।अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

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यदि $\int \frac{\sin x}{\sin (x-\alpha)} dx = px - q \log |\sin (x-\alpha)| + c$ है,तो $pq =$ . . . . . . .

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यदि $\int(3 x+2) \sqrt{2 x^2+3 x+4} d x=f(x) \sqrt{2 x^2+3 x+4}+A \sinh ^{-1}\left(\frac{4 x+3}{\sqrt{23}}\right)+C$ है, तो क्रमित युग्म $(f(1), A)=$

$\text{यदि } \int \frac{2 e^{x}+3 e^{-x}}{4 e^{x}+7 e^{-x}} d x=\frac{1}{14}\left(u x+v \log _{e}\left(4 e^{x}+7 e^{-x}\right)\right)+C$ जहाँ $C$ एक समाकलन स्थिरांक है,तो $u+v$ का मान .... है।

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