मान लीजिए $R$ समुच्चय $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ पर परिभाषित एक संबंध है,जहाँ $R = \{(a, b) : a\}$ और $b$ दोनों या तो विषम हैं या सम हैं। सिद्ध कीजिए कि $R$ एक तुल्यता संबंध है। इसके अलावा,सिद्ध कीजिए कि उपसमुच्चय $\{1, 3, 5, 7\}$ के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं और उपसमुच्चय $\{2, 4, 6\}$ के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं,लेकिन उपसमुच्चय $\{1, 3, 5, 7\}$ का कोई भी अवयव उपसमुच्चय $\{2, 4, 6\}$ के किसी भी अवयव से संबंधित नहीं है।

(A) $1$. स्वतुल्यता: किसी भी $a \in A$ के लिए,$a$ या तो विषम है या सम है। अतः,$(a, a) \in R$। इसलिए,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: यदि $(a, b) \in R$ है,तो $a$ और $b$ दोनों विषम या दोनों सम हैं। इसका अर्थ है कि $b$ और $a$ भी दोनों विषम या दोनों सम हैं,इसलिए $(b, a) \in R$। अतः,$R$ सममित है।
$3$. संक्रामकता: यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है,तो $a, b$ समान प्रकृति के हैं और $b, c$ समान प्रकृति के हैं। अतः,$a$ और $c$ भी समान प्रकृति के हैं,इसलिए $(a, c) \in R$। अतः,$R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।
$4$. उपसमुच्चय विश्लेषण: $\{1, 3, 5, 7\}$ के सभी अवयव विषम हैं,इसलिए इस समुच्चय का कोई भी युग्म $(a, b)$ शर्त को पूरा करता है,जिसका अर्थ है कि वे संबंधित हैं। इसी प्रकार,$\{2, 4, 6\}$ के सभी अवयव सम हैं,इसलिए वे एक-दूसरे से संबंधित हैं। हालाँकि,एक विषम संख्या और एक सम संख्या संबंधित नहीं हो सकती हैं,इसलिए $\{1, 3, 5, 7\}$ का कोई भी अवयव $\{2, 4, 6\}$ के किसी भी अवयव से संबंधित नहीं है।